Sine věta. Roztok trojúhelníků

Ve studii trojúhelníků nedobrovolně je otázkou výpočtu vztahu mezi jejich stran a úhlů. V geometrii, teorém cosines a sines dává nejúplnější odpověď na problém. Hojnost různých matematických výrazů a vzorců, zákonů, vět a pravidla jsou taková, že odlišný mimořádné harmonie, stručné a snadno krmit vězně v nich. Sine věta je ukázkovým příkladem takového matematické formulace. V případě, že slovní výklad, a přesto existuje určitá překážka v chápání matematických pravidel, když se podíváte na matematickém vzorci najednou padne na své místo.

První informace o této věty byly nalezeny v podobě důkazů o tom v rámci matematické práce Nasir al-Din al-Tusi, sahající až do třináctého století.

Blížící se blíže na vztah mezi stranami a úhly v libovolném trojúhelníku, je třeba poznamenat, že sine věta nám umožňuje řešit mnoho matematických problémů, a geometrie zákona nalezne uplatnění v celé řadě praktické lidské činnosti.

Ona sine teorém říká, že pro jakýkoli trojúhelníku se vyznačuje proporcionality stranách protilehlých rozích sinů. K dispozici je také druhá část této věty, podle kterého je poměr každé straně trojúhelníku naproti sinu úhlu se rovná průměru kruhu opsaného kolem trojúhelníku v úvahu.

Ve vzorci tento výraz vypadá

a / sina = b / sinB = c / sinc = 2R

Má důkaz věty o Sines, které v různých verzích učebnic dostupných v bohaté paletě verzí.

Vezměme si například jeden z důkazů, což vysvětlení první část věty. Chcete-li to, budeme ptát dokázat loajalitu k výrazu A sinc = C Sina.

V libovolném trojúhelníku ABC, konstruovat výšky BH. V jednom provedení, bude konstrukt H leží na segmentu AC, a druhý mimo něj, v závislosti na velikosti úhlů ve vrcholech trojúhelníků. V prvním případě je výška může být vyjádřen pomocí úhlů a stran trojúhelníku jako BH = sinc a BH = c sina, což je požadovaný doklad.

Když je H-bod je vně úseku AC, můžeme získat následující řešení:

BH = sinc a VL = C sin (180-A) = c sina;

nebo BH = a sin (180-C) = a sinc a VL = c sina.

Jak můžete vidět, bez ohledu na možnosti řešení, dojdeme k požadovanému výsledku.

Důkaz druhé části věty nás bude vyžadovat, aby popisovat kruh kolem trojúhelníku. Prostřednictvím jedné z trojúhelníku výškách, například B, postavit průměr kruhu. Výsledná bod na kruhu D je připojen k jednomu z výšky trojúhelníku, ať je to bod A trojúhelníku.

Pokud vezmeme v úvahu získané trojúhelníky ABD a ABC, můžeme vidět rovnost úhlů C a D (jsou založeny na stejném oblouku). A vzhledem k tomu, že úhel A je rovna devadesáti stupních sin D = c / 2R, nebo sin C = C / 2R, QED.

Sine věta je výchozím bodem pro celou řadu různých úkolů. Zvláštní atrakcí je jeho praktické aplikace, jako důsledek Věty jsme schopni týkají hodnotu trojúhelníku stran, protilehlé úhly a poloměr (průměr) kružnice opsané kolem trojúhelníku. Jednoduchost a dostupnost vzorce popisující tento matematický výraz, nechá se hojně využívají tuto větu řešit problémy pomocí různých mechanických zařízení počitatelných (logaritmických pravítek, stoly, a tak dále.), Ale i příchod servisní technik výkonných výpočetních zařízení není snížen význam této věty.

Tato věta je nejen součástí požadovaného průběhu vysoké školy geometrie, ale později použitý v některých odvětvích praxi.