Kde je použita metoda nejmenších čtverců

Metoda nejmenších čtverců (OLS) umožňuje odhadnout různá množství pomocí výsledků sady měření obsahujících náhodné chyby.

Charakteristika OLS

Hlavní myšlenkou této metody je to, že jako kritérium pro přesnost řešení problému se uvažuje o součtu chybových čtverců, které se snaží minimalizovat. Pomocí této metody můžete použít jak numerický, tak i analytický přístup.

Zejména jako numerická implementace metoda nejmenších čtverců znamená provádět co nejvíce rozměrů neznámé náhodné veličiny. Kromě toho, čím více výpočtů, tím přesnější je řešení. Na této sérii výpočtů (počátečních dat) je získána další sada předpokládaných řešení, z nichž je pak vybráno nejlepší. Je-li soubor řešení parametrizován, metoda metody nejmenších čtverců se zmenší na nalezení optimální hodnoty parametrů.

Jako analytický přístup k implementaci MNC na množině počátečních dat (rozměrů) a předpokládanou sadu řešení je určena určitá funkční závislost (funkční), kterou lze vyjádřit vzorcem získaným jako hypotéza vyžadující potvrzení. V tomto případě metoda nejmenších čtverců snižuje na nalezení minimální hodnoty této funkce na množině čtvercových chyb původních dat.

Všimněte si, že ne samotné chyby, ale čtverce chyb. Proč? Faktem je, že často odchylky měření od přesných hodnot jsou pozitivní i negativní. Při určování průměrné chyby měření může jednoduché shrnutí vést k nesprávnému závěru o kvalitě odhadu, protože vzájemné zničení pozitivních a záporných hodnot sníží výkon vzorku sady měření. A v důsledku toho i přesnost hodnocení.

Aby se to stalo, a shrnout čtverce odchylek. Ještě více, abychom vyrovnali rozměr naměřené hodnoty a konečného odhadu, odečteme druhou odmocninu ze součtu chybových čtverců .

Některé aplikace MNC

MNC je široce používána v různých oblastech. Například v teorii pravděpodobnosti a matematické statistice se používá metoda pro určení charakteristiky náhodné proměnné, jako je standardní odchylka, která určuje šířku rozsahu hodnot náhodné proměnné.

V matematické analýze a v různých fyzikálních oborech, které používají toto zařízení k odvození nebo potvrzení hypotéz, se OLS používá zejména k vyhodnocení přibližné reprezentace funkcí definovaných na numerických souborech pomocí jednodušších funkcí, které připouštějí analytické transformace.

Další aplikací této metody je oddělení užitečného signálu od šumu, který mu vzniká při filtračních potížích.

Další oblastí aplikace MNC je ekonometrie. Zde je tato metoda používána tak široce, že pro ni byly identifikovány některé speciální úpravy.

Většina problémů ekonometrie, tak či onak, snižuje řešení lineárních ekonometrických rovnic popisujících chování některých systémů - strukturálních modelů. Hlavním prvkem každého takového modelu je časová řada, která je sbírkou některých charakteristik, jejichž hodnoty závisí na čase, stejně jako na řadě dalších faktorů. V tomto případě může existovat shoda mezi vnitřními (endogenními) charakteristikami modelu a vnějšími (exogenními) charakteristikami. Tato korespondence je obvykle vyjádřena ve formě systémů lineárních ekonomických rovnic.

Charakteristickým znakem takových systémů je existence vzájemných vztahů mezi jednotlivými proměnnými, které na jedné straně komplikují a na druhé straně redefinují. Co způsobuje nejistotu při výběru řešení těchto systémů. Dalším faktorem, který komplikuje řešení těchto problémů, je závislost modelových parametrů na čase.

Hlavním cílem problémů ekonometrie je identifikace modelů, tj. Určení strukturálních vztahů ve zvoleném modelu, jakož i odhad řady jeho parametrů.

Obnova závislostí v časových řadách skládajících se z modelu může být provedena zejména pomocí přímé OLS a některých jejích modifikací, stejně jako řady dalších metod. Zvláštní modifikace MNC při řešení těchto problémů jsou speciálně vyvinutá pro řešení určitých problémů vznikajících v procesu numerického řešení systémů rovnic.

Zejména jeden z těchto problémů souvisí s přítomností počátečních omezení parametrů, které je třeba vyhodnotit. Například příjmy soukromého podniku mohou být vynaloženy na spotřebu nebo na její vývoj. Následkem toho je známo, že součet částí těchto dvou typů nákladů je 1. Do systému ekonometrických rovnic mohou tyto části vstupovat nezávisle na sobě. Proto je možné odhadnout různé typy výdajů pomocí OLS bez zohlednění počátečního omezení a následně opravit získaný výsledek. Tato metoda řešení se nazývá metoda nepřímých nejmenších čtverců.

Pro přesně definovaný strukturální model se používá nepřímá metoda nejmenších čtverců (KMNK). KIOC algoritmus předpokládá následující akce:

1) transformace strukturního modelu na jednodušší, redukovanou formu zavedením dalšího vztahu;

2) odhad s pomocí obyčejných nejmenších čtverců snížených koeficientů pro každou rovnici zjednodušeného modelu;

3) získané koeficienty jednoduché formy modelu jsou transformovány do parametrů počátečního strukturálního modelu.

Je třeba poznamenat, že u superidentifikovaných systémů se KMNC nepoužívají, protože v tomto případě není možné specifikovat jednoznačné odhady parametrů strukturního modelu. U takových modelů lze použít ještě jednu modifikaci nejmenších čtverců (dvoustupňová metoda nejmenších čtverců ).

Algoritmus DMNK je následující:

1) na základě zjednodušeného modelu vypočte pro superidentifikovanou rovnici hodnoty vnitřních proměnných, které jsou obsaženy na pravé straně rovnice;

2) nahradit získané hodnoty proměnných do místa odpovídajících skutečných proměnných v počátečním modelu a znovu použít konvenční nejmenší čtverce.

Podrobný popis nepřímých a dvoukrokových metod nejmenších čtverců je uveden v mnoha učebnicích o ekonometrii. Zvláštností těchto metod, stejně jako běžných MNC, je jejich univerzálnost, která jim umožňuje použít k odhadu koeficientů jakéhokoliv strukturního modelu v jakékoli doméně.