Jak vypočítat plochu pyramidy: základní, boční a plná?

Při přípravě na USE v matematice musí studenti systematizovat znalosti algebry a geometrie. Chci kombinovat všechny známé informace například o tom, jak vypočítat plochu pyramidy. A od základny a bočních ploch až po plochu celého povrchu. Pokud je situace s bočními plochami jasná, protože jsou trojúhelníky, základna je vždy odlišná.

Jak se stát při hledání oblasti pyramidy?

Může to být jakákoli forma: od libovolného trojúhelníku po n-gon. A tento základ, kromě rozdílu v počtu úhlů, může být správný nebo nesprávný. Ve školních úlohách, které jsou pro žáky školní docházky, se setkávají pouze práce se správnými postavami v základně. Proto o nich budeme jen mluvit.

Pravý trojúhelník

To je rovnostranné. Ten se všemi stranami je stejný a označen písmenem "a". V tomto případě je plocha základny pyramidy vypočtena podle vzorce:

S = (a ² * √3) / 4.

Náměstí

Vzorec pro výpočet jeho plochy je nejjednodušší, zde "a" je opět strana:

S = a ² .

Pravdivý n-gon

Strana polygonu má stejnou notaci. Pro počet úhlů použijte latinské písmeno n.

S = (n * a2) / (4 * tg (180 ° / n)).

Co mám dělat při výpočtu plochy bočního a plného povrchu?

Vzhledem k tomu, že základna má správnou postavu, všechny tváře pyramidy jsou stejné. Navíc každá z nich je rovnoramenný trojúhelník, protože boční hrany jsou stejné. Abychom mohli vypočítat boční plochu pyramidy, potřebujeme vzorec sestávající ze součtu identických monomiálů. Počet pojmů je určen počtem stran základny.

Plocha rovnoramenného trojúhelníku je vypočtena podle vzorce, ve kterém je polovina produktu báze vynásobena výškou. Tato výška v pyramidě se nazývá apophema. Jeho označení je "A". Obecný vzorec pro plochu bočního povrchu je následující:

S = ½ P * A, kde P je obvod základny pyramidy.

Tam jsou situace, kde strany základny nejsou známy, ale tam jsou boční hrany (c) a plochý úhel na jeho vrcholu (α). Pak je třeba použít takový vzorec pro výpočet boční plochy pyramidy:

S = n / 2 * v ² sin α .

Úkol číslo 1

Stav. Najděte celkovou plochu pyramidy, pokud má rovnostranný trojúhelník se stranou 4 cm a apophema má hodnotu √ 3 cm.

Řešení. Začíná to výpočtem obvodu základny. Vzhledem k tomu, že se jedná o pravidelný trojúhelník, potom P = 3 * 4 = 12 cm. Protože je známý apophem, můžeme okamžitě vypočítat plochu celého bočního povrchu: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm2.

Pro trojúhelník ve spodní části získáme následující hodnotu oblasti: (4 ² * √3) / 4 = 4√3 cm ² .

K určení celkové plochy je nutné přidat dvě výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Odpovědět. 10,3 cm2.

Úkol číslo 2

Stav . K dispozici je pravidelná čtverhranná pyramida. Délka strany podstavce je 7 mm, boční okraj je 16 mm. Je třeba znát plochu jeho povrchu.

Řešení. Vzhledem k tomu, že polyhedron je čtverhranný a pravidelný, na jeho základně je čtverec. Po naučení oblasti základny a bočních ploch bude možné počítat plochu pyramidy. Vzorec pro čtverec je uveden výše. Boční strany jsou známé všem stranám trojúhelníku. Proto můžete použít Geronův vzorec pro výpočet jejich oblastí.

První výpočty jsou jednoduché a vedou k takovému číslu: 49 mm ² . Pro druhou hodnotu budete muset vypočítat semiperimetr: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nyní můžeme vypočítat plochu rovnoramenného trojúhelníku: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ² ) = √2985,9375 = 54,644 mm ² . Existují pouze čtyři takové trojúhelníky, takže při výpočtu konečného čísla je třeba ho vynásobit číslem 4.

Ukázalo se: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm ² .

Odpovědět . Požadovaná hodnota je 267,576 mm ² .

Úkol číslo 3

Stav . V pravidelné čtyřúhelníkové pyramidě je nutné plochu vypočítat. Ví to na straně čtverce - 6 cm a výšku - 4 cm.

Řešení. Nejjednodušší je použít vzorec s produktem perimetru a apophema. První hodnota je snadná. Druhý je trochu komplikovanější.

Musím si pamatovat Pythagorovu větu a zvážit obdélníkový trojúhelník. To je tvořeno výškou pyramidy a apophema, což je hypotenuse. Druhá noha se rovná polovině strany náměstí, protože výška polyhedronu klesá k jeho středu.

Požadovaný apophem (hypotenze pravoúhlého trojúhelníku) je √ (3 ² + 4 ² ) = 5 (cm).

Nyní můžeme vypočítat požadované množství: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ² ).

Odpovědět. 96 cm2.

Úkol č. 4

Stav. Vzhledem k pravidelné hexagonální pyramidě. Strany její základny jsou 22 mm, boční žebra jsou 61 mm. Jaká je plocha bočního povrchu tohoto polyhedronu?

Řešení. Argumenty v něm jsou stejné jako v popisu problému 2. Jen tam byla dána pyramida se čtvercem ve spodní části a teď je to šestiúhelník.

Prvním krokem je vypočítat základní plochu podle výše uvedeného vzorce: (6 * 22 ² ) / (4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30 °) = 726/3 cm2.

Nyní je nutné znát polovinu obvodu rovnoramenného trojúhelníku, který je postranním obličejem. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Podle vzoru Heronu zůstává výpočet plochy každého takového trojúhelníku a pak se vynásobí šesti a přidá se k tomu, který se ukázal jako základ.

Výpočty pomocí vzorce Heronu: √ (72 * (72-22) * (72-61) ² ) = √435600 = 660 cm2. Výpočty, které poskytnou plochu boční plochy: 660 * 6 = 3960 cm ² . Zbývá je přidávat, aby se zjistil celý povrch: 5217,47 ≈ 5217 cm ² .

Odpovědět. Základny jsou 726,3 cm2, boční plocha je 3960 cm ² , celková plocha je 5217 cm ² .