Cramerovo pravidlo a jeho aplikace

Cramerovo pravidlo - je jedním z exaktních metod pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic (Slough). Jeho přesnost díky použití determinant systému matrice, jakož i některá omezení uložených v důkazu věty.

Systém lineárních rovnic s koeficienty patřit k, například, množství R - reálná čísla neznámých x1, x2, ..., xn je soubor výrazů

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi s i = 1, 2, ..., m, (1)

kde aij, bi - reálná čísla. Každý z těchto výrazů se nazývá lineární rovnice, aij - koeficienty neznámé, bi - nezávislé koeficienty rovnic.

Roztok (1) podle n-rozměrný vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn ° C), při které substituce do systému pro neznámých X1, X2, ..., xn, každý z řádků v systému se stává nejlepší rovnice ,

Tento systém se nazývá konzistentní, pokud má alespoň jedno řešení, a nekonzistentní, pokud se shoduje s množinou řešení prázdné množině.

Je třeba připomenout, že s cílem nalézt řešení soustav lineárních rovnic použitím metody Cramer, matricové systémy musí být čtvercové, což v podstatě znamená, že stejný počet neznámých a rovnic v systému.

Takže používat Cramerovo metodu, musíte alespoň vědět , co je Matrix je systém lineárních rovnic, a to je vydán. A za druhé, porozumět tomu, co se nazývá determinant matice a vlastních schopností počítání.

Dejme tomu, že tyto znalosti máte k dispozici. Úžasné! Pak budete muset jen pamatovat vzorce určující způsob Kramer. Pro zjednodušení memorování použít následující zápis:

• Det - hlavní determinantou matrice systému;

• Deti - je determinant matice získané z primární matice soustavy nahrazením i-tý sloupec matice na sloupcový vektor, jehož prvky jsou pravé strany lineárních rovnic;

• n - počet neznámých a rovnic v systému.

Pak Cramerovo pravidlo výpočet i-té komponenty xi (i = 1, .. n) n-rozměrný vektor x lze zapsat jako

xi = deti / Det, (2).

V tomto případě, Det striktně odlišné od nuly.

Unikátnost řešení systému, kdy je společně poskytuje stav nerovnosti hlavní determinantu systému na nulu. V opačném případě, pokud součet (XI), čtvercový, striktně pozitivní, pak Slae čtvercová matice je nemožný. Tato situace může nastat zejména tehdy, když alespoň jeden z Děti nenulová.

Příklad 1. K vyřešení trojrozměrné systém LAU pomocí Cramerovo vzorec.
2 x 1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x 1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Rozhodnutí. Zapíšeme matici systému řádek po řádku, kde Ai - je i-tý řádek matice.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, 1, 1).
Sloupec volné koeficienty b = (31 29 10).

Hlavní systém je determinant Det
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2 - 10 = -27.

Pro výpočet permutace DET1 pomocí a11 = b1, b2 = a21, a31 = b3. pak
DET1 = b1 a22 a33 a12 a23 + b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 a12 b2 = ... = -81.

Podobně, pro výpočet det2 použití substituce a12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, a proto pro výpočet det3 - A13 = b1, A23 = b2, A33 = b3.
Pak si můžete ověřit, že det2 = -108 a det3 = - 135.
Podle vzorců Cramer najít x1 = -81 / (- 27) = 3, X 2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Odpověď: x ° = (3,4,5).

Spoléhání se na použitelnosti tohoto pravidla, metoda Kramer řešení soustav lineárních rovnic lze použít nepřímo, například, vyšetřovat systém na možný počet řešení, v závislosti na hodnotě parametru k.

Příklad 2. stanoví, v jaké hodnoty parametru k nerovnosti | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 má právě jedno řešení.

Rozhodnutí.
Tato nerovnost, podle definice funkce modulu může být provedena pouze v případě, oba výrazy jsou nula současně. Proto tento problém se redukuje na nalezení řešení lineárních rovnic

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Řešením tohoto systému pouze v případě, že je hlavní determinantou
Det = k ^ {2} + 1 je nenulová. Je jasné, že tato podmínka je splněna pro všechny reálné hodnoty parametru k.

Odpověď: pro všechny reálné hodnoty parametru k.

Cílem tohoto typu mohou být také snížena řadu praktických problémů v oblasti matematiky, fyziky a chemie.