Součet úhlů trojúhelníku. Věta o součet úhlů trojúhelníku

Trojúhelník je polygon má tři strany (tři úhly). Nejčastěji je část označená malými písmeny odpovídajícími velkými písmeny, které představují protilehlé vrcholy. V tomto článku se podíváme na tyto typy geometrických tvarů, věta, která definuje, co je roven součtu úhlů trojúhelníku.

Druhy největší úhly

Následující typy polygonu se třemi vrcholy:

• ostroúhlý, ve které jsou všechny úhly jsou ostré;
• obdélníkový a má jeden pravý úhel, boční ze kterého se vytvoří, uvedené nohy, a na straně, která je umístěna naproti pravého úhlu, se nazývá přepona;
• tupý, když jeden úhel je tupý ;
• rovnoramenný, jejichž dvě strany jsou rovné, a nazývají se boční a třetí - trojúhelník s bází;
• rovnostranný má tři stejné strany.

vlastnosti

Přidělit základní vlastnosti, které jsou charakteristické pro každý typ trojúhelníku:

• naproti největší strana je vždy větší úhel, a naopak;
• jsou stejné úhly naproti rovném největší strany, a naopak;
• v každém trojúhelníku má dva ostré úhly;
• vnější úhel větší, než jakékoliv vnitřní úhel k ní nesousedí;
• součet libovolných dvou úhlů je vždy menší než 180 °;
• Vnější úhel je roven součtu dalších dvou rohů, které nejsou mezhuyut s ním.

Věta o součet úhlů trojúhelníku

Věta říká, že pokud sečtete všechny rohy geometrický tvar, který je umístěn v euklidovské rovině, pak jejich součet bude o 180 stupňů. Zkusme dokázat tuto větu.

Nechť máme libovolný trojúhelník s vertices KMN. V horní části M bude mít přímý rovnoběžná s osou KN (i tato čára se nazývá Euclid). Je třeba poznamenat, bod A tak, že body K a A jsou uspořádány z různých stranách linky MN. Dostaneme stejný úhel AMS a MUF, které, stejně jako uvnitř, leží příčně k vytvoření protínající MN ve spojení s přímým CN a MA, které jsou rovnoběžné. Z toho vyplývá, že součet úhlů trojúhelníku, který se nachází na vrcholech M a N se rovná velikosti úhlu CMA. Všechny tři úhly se skládají z částky rovnající se součtu úhlů MAK a MCS. Vzhledem k tomu, že údaje jsou vnitřní úhly relativní oboustranné paralelní linie CL a CM MA v protínajících, jejich součet je 180 stupňů. To dokazuje větu.

výsledek

Z výše uvedených výše věty vyplývá následující důsledek: každý trojúhelník má dvě ostré úhly. K prokázání toho, předpokládejme, že tento geometrický obrazec má pouze jeden ostrý úhel. Můžete také předpokládat, že žádný z rohů nejsou ostré. V tomto případě musí být alespoň dva úhly, jehož velikost je rovna nebo větší než 90 stupňů. Ale pak je součet úhlů je větší než 180 stupňů. To však není možné, protože podle věty součet úhlů trojúhelníku se rovná 180 ° - ne více, ne méně. To je to, co muselo být prokázáno.

Charakter vnější rohy

Jaký je součet úhlů trojúhelníku, které jsou externí? Odpověď na tuto otázku lze získat za použití jednoho ze dvou způsobů. První z nich je, že musíte najít součet úhlů, které jsou převzaty jeden na každém vrcholu, to jest tří úhlů. Druhý znamená, že budete muset najít součet šesti úhlů ve vrcholech. K řešení se začátkem prvního provedení. To znamená, že trojúhelník obsahuje šest vnějších rohů - v horní části každé z obou. Každá dvojice má stejné úhly mezi sebou, protože jsou vertikální:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Kromě toho je známo, že vnější roh trojúhelníku se rovná součtu dvou interiéru, které nejsou mezhuyutsya s ním. proto,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Z toho je zřejmé, že součet vnějších úhlů, které jsou přijímána po jednom u každého vrcholu bude rovna:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Vzhledem k tomu, že součet úhlů je 180 stupňů, lze tvrdit, že ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. To znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Je-li použita druhá možnost, bude součet úhlů šesti být odpovídajícím způsobem vyšší dvakrát. Tedy součet úhlů trojúhelníku venku bude:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

pravoúhlý trojúhelník

Co je roven součtu úhlů pravoúhlého trojúhelníku, je ostrov? Odpověď je opět z věty, v němž se uvádí, že úhly trojúhelníku se sečtou do 180 stupňů. Zvuk naše tvrzení (majetek) takto: v pravoúhlého trojúhelníka s ostrými úhly přidat až 90 stupňů. Dokážeme její pravdivost. Budiž dána trojúhelník KMN, které ∟N = 90 °. Je třeba prokázat, že ∟K ∟M = + 90 °.

Tak, podle věty o součtu úhlů ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. V tomto stavu se říká, že ∟N = 90 °. Ukazuje se, ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. To je ∟K ∟M + = 180 ° C - 90 ° = 90 °. To je to, co bychom měli dokázat.

Kromě výše uvedených vlastností pravoúhlého trojúhelníku, můžete přidat tyto:

• Úhly, které leží proti nohám jsou ostré;
• přepona trojúhelníkových větší než kterákoli z nohou;
• součet nohy více než přepona;
• rameno trojúhelníku, který leží naproti úhlu 30 stupňů, polovina přepony, která se rovná přibližně na polovinu.

Jako další vlastnost geometrického tvaru, mohou být rozlišeny Pythagorovy věty. Tvrdí, že v trojúhelníku s úhlem 90 stupňů (obdélníkové), součet čtverců nohy rovná čtverec přepony.

Součet úhlů rovnoramenného trojúhelníka

Dříve jsme uvedli, že rovnoramenný trojúhelník je mnohoúhelník se třemi vrcholy, obsahující dva stejné strany. Tato vlastnost je známý geometrický obrazec: úhly na své základně stejné. Pojďme dokázat.

Vezměte trojúhelník KMN, což je rovnoramenný, SC - svou základnu. Jsme povinni prokázat, že ∟K = ∟N. Takže předpokládejme, že MA - KMN je sečna našeho trojúhelníku. ICA trojúhelník s prvním náznaku rovnosti je trojúhelník MNA. Konkrétně, podle předpokladu, že vzhledem k tomu, CM = NM, MA je společná strana, ∟1 = ∟2, protože MA - to sečna. Použití rovnost dvou trojúhelníků, je možné tvrdit, že ∟K = ∟N. Proto je věta je prokázáno.

Ale nás zajímá, jaký je součet úhlů trojúhelníku (rovnoramenného). Protože v tomto ohledu nemá na jeho vlastnosti, začneme od věty diskutované dříve. To znamená, že můžeme říci, že ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, nebo 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (jako ∟K = ∟N). To nebude dokázat vlastnost, protože věta o součtu úhlů trojúhelníku byla prokázána dříve.

Kromě uvažovaných vlastností rozích trojúhelníku, existují i takové důležité prohlášení:

• v rovnostranném výšky trojúhelníku, která byla snížena na základně, je zároveň střední sečna na úhlu, který je mezi stejnými stranami a osou souměrnosti jeho základny;
• medián (sečna, nadmořská výška), které jsou drženy na stranách geometrického útvaru, jsou stejné.

rovnostranný trojúhelník

To je také nazýván v pořádku, je trojúhelník, které jsou stejné pro všechny účastníky. A tím i rovné a úhly. Každý z nich je 60 stupňů. Pojďme ukázat tuto vlastnost.

Předpokládejme, že máme trojúhelník KMN. Víme, že KM = HM = KH. To znamená, že, v závislosti na vlastnosti úhlů umístěných na základně v rovnostranném trojúhelníku ∟K = ∟M = ∟N. Vzhledem k tomu, podle součtu úhlů trojúhelníku věty ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, pak x 3 = 180 ° ∟K nebo ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. To znamená, že tvrzení je prokázáno. Jak je patrné z výše uvedených poznatků, vztaženo na výše uvedené věty je součet úhlů rovnostranného trojúhelníku, jako součet úhlů jiného trojúhelníku je 180 stupňů. Opět prokázání této věty není nutné.

Tam jsou ještě některé vlastnosti charakteristické pro rovnostranného trojúhelníka:

• střední výška sečna v geometrickým obrazcem identické, a jejich délka je vypočtena jako (A x √3): 2;
• Pokud tento mnohoúhelník opisující kruh, pak je poloměr se rovná (A x √3): 3;
• pokud vepsán do kružnice rovnostranného trojúhelníku, její poloměr by být (a x √3): 6;
• plocha geometrického útvaru se vypočítá podle vzorce: (a2 x √3): 4.

tupý trojúhelník

Podle definice, tupý pravoúhlý trojúhelník, jeden z jeho rohů je mezi 90 až 180 stupňů. Ale vzhledem k tomu, že další dva úhly geometrického tvaru ostrý, to může učinit závěr, že pokud nepřekročí 90 stupňů. Proto je součet úhlů trojúhelníku věty pracuje při výpočtu součet úhlů v tupém trojúhelníku. Takže můžeme s jistotou říci, na základě výše uvedené věty, že součet tupých úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. Opět platí, že tato věta nepotřebuje re-důkaz.