Rovnice roviny: jak se dělá? Druhy rovina rovnice

Rovina prostor lze definovat různými způsoby (jeden bod a vektoru, vektoru a dva body, tři body, atd.). Právě s ohledem na tuto skutečnost, že letadlo rovnice může mít různé typy. Také za určitých podmínek mohou být roviny rovnoběžné, kolmé, protínající se, atd. Na základě tohoto a bude mluvit v tomto článku. Naučíme se dělat obecné rovnice roviny a nejen to.

Normální forma rovnice

Předpokládejme, že R je prostor _3, který má pravoúhlý souřadnicový systém XYZ. Definujeme vektor α, které budou uvolněny z výchozího bodu O. Do konce vektoru alfa čerpat rovině P, která je kolmá k ní.

Označme P v libovolném bodě Q = (x, y, z). Poloměr vektor bod Q znaménko písmeno P. Délka vektoru se rovná alfa P = lal a Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Tento jednotkový vektor, který směřuje ve směru jako vektoru a. α, β a γ - jsou úhly, které jsou vytvořeny mezi vektorem a pozitivním směru Ʋ prostorové osy x, y, z, resp. Průmět bodu na vektoru QεP Ʋ je konstanta, která se rovná p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Výše uvedená rovnice je smysluplné, když p = 0. Jediným n rovina, v tomto případě se přes bod O (α = 0), což je počátek a jednotkový vektor Ʋ, uvolněného z bodu O bude kolmá na P, i když jeho směru, což znamená, že vektor Ʋ určena až do znamení. Předchozí rovnice je naše letadlo P, vyjádřeno v vektorové podobě. Ale s ohledem na jeho souřadnic je:

P je větší než nebo rovno 0. Bylo zjištěno, rovina rovnice v normální formě.

Obecná rovnice

V případě, že rovnice v souřadnicích násobit libovolným počtem, který není roven nule, dostaneme rovnice odpovídající to, která definuje samotnou rovinu. To bude mít následující podobu:

Zde, A, B, C - je počet současně odlišné od nuly. Tato rovnice se nazývá rovnice obecnou formu letadla.

Rovnice rovin. Zvláštní případy

Rovnice může být obecně upraven s dalšími podmínkami. Vezměme si některé z nich.

Předpokládejme, že koeficient A je 0. To znamená, že rovina paralelní k předem stanovené ose Ox. V tomto případě se forma rovnice změní: Wu + Cz + D = 0.

Podobně, forma rovnice a bude se měnit s následujícími podmínkami:

• Za prvé, v případě, B = 0, rovnice změny Ax + CZ + D = 0, což znamená, že se rovnoběžnost osy Oy.
• Za druhé, v případě, C = 0, rovnice je transformována do Ax + By + D = 0, to znamená, že přibližně paralelně k předem stanovené ose Oz.
• Za třetí, pokud D = 0, rovnice se zobrazí jako Ax + By + Cz = 0, což by znamenalo, že rovina protíná O (původ).
• Za čtvrté, je-li A = B = 0, rovnice změny CZ + D = 0, což se ukáže rovnoběžnosti Oxy.
• Za páté, v případě, B = C = 0, rovnice se Ax + D = 0, což znamená, že rovina je rovnoběžná s Oyz.
• Za šesté, když A = C = 0, rovnice formu Wu + D = 0, tj. Bude hlásit do rovnoběžnosti Oxz.

Forma rovnice v segmentech

V případě, kdy čísla A, B, C, D se liší od nuly, forma rovnice (0), může být následující:

x / a + y / b + Z / c = 1,

kde A = D / A, B = D / B, c = D / C

Dostáváme jako výsledek rovnice roviny v kusech. Je třeba poznamenat, že tato rovina protíná osu x v bodě o souřadnicích (a, 0,0), Oy - (0, B, 0), a Oz - (0,0, s).

Vzhledem k tomu, rovnice x / a + y / b + Z / c = 1, není obtížné si představit umístění rovině vzhledem k předem určené souřadnicového systému.

Souřadnice vektoru normály

Normální vektor n k rovině P, má souřadnice, které jsou koeficienty obecné rovnice roviny, to znamená N (A, B, C).

Za účelem určení souřadnic normálního n, je postačující znát obecnou rovnici uvedené roviny.

Při použití rovnice v segmentech, který je v podobě x / a + y / b + Z / c = 1, když se při použití obecné rovnice lze zapsat souřadnice libovolného běžného vektoru daná rovina: (1 / + 1 / b + 1 / c).

Je třeba poznamenat, že běžná vektor pomáhá řešit různé problémy. Mezi nejběžnější problémy spočívající v důkaz kolmých nebo rovnoběžných rovinách, za úkol najít úhly mezi rovinami nebo úhly mezi rovinami a rovných čar.

Sem podle roviny rovnice a souřadnice bodu vektoru normály

Nenulová vektor n, kolmo k dané rovině, tzv normální (normální) do předem určené rovině.

Předpokládejme, že v prostoru souřadnic (pravoúhlý souřadnicový systém) Oxyz nastavit:

• Mₒ bod se souřadnicemi (hₒ, uₒ, zₒ);
• nulový vektor n = A * i + B * j + C * k.

Je třeba, aby rovnice roviny, která prochází Mₒ bodu kolmo k normálnímu n.

V prostoru zvolíme libovolný bod a značí M (x, y, z). Ať poloměr vektor každého bodu M (x, y, z), bude r = x * i + y * j + z * k, a poloměr vektor bodu Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Bod M bude patřit k dané rovině, v případě, že vektor MₒM být kolmý k vektoru n. Píšeme podmínku ortogonality pomocí skalární součin:

[MₒM, n] = 0.

Vzhledem k tomu, MₒM = r-rₒ bude vektor rovnice roviny vypadat například takto:

[R - rₒ, n] = 0.

Tato rovnice může mít i jiný tvar. Pro tento účel, vlastnosti skalárního součinu a převedeny na levou stranu rovnice. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Je-li [rₒ, n] označený jako S, získáme následující rovnice: [r, n] - a = 0 nebo [R, n] = S, který vyjadřuje stálost výstupků normálovým vektorem poloměru vektorů sousedními body, které patří rovinu.

Nyní můžete získat souřadnic typ záznamové roviny naše vektor rovnice [r - rₒ, n] = 0. Vzhledem k tomu, r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, a n = A * i + b * j + C * k, máme:

Ukazuje se, že máme rovnice je vytvořena rovina procházející bodem kolmo ke kolmici N:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Sem podle roviny rovnice a souřadnice dvou bodů vektor roviny kolineární

Definujeme dva libovolné body M '(x', y 'z') a M "(x", y“, Z "), jakož i vektor (A‘, A", což je '' ').

Nyní můžeme napsat rovnici předem určené roviny, která prochází skrze existující bodu M ‚a M“, a každý bod se souřadnicemi M (x, y, z), rovnoběžné s daného vektoru.

Tak M'M vektory x = {x 'y-y', zz '} a M "M = {x" -x', y 'y', z „-Z‚} by měl být v jedné rovině s vektorem A = (A‘, A " je '' '), což znamená, že (M'M M" M, a) = 0.

Takže naše rovnice letadla v prostoru bude vypadat takto:

Typ roviny rovnice, přes tři body

Řekněme, že máme tři body: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' '' '' Have, z '' '), které nepatří ke stejné lince. Je nutné napsat rovnici roviny procházející třemi body specifikované. Teorie geometrie tvrdí, že tento druh letadla neexistuje, je to jen jeden a jediný. Protože tato rovina protíná bodu (x ‚y‘, z ‚), jeho tvar rovnice bude:

Zde, A, B, a C se liší od nuly ve stejnou dobu. Také vzhledem k tomu, rovina protíná další dva body (x "y", z „), a (x '' ', y' '', z '' '). V této souvislosti by měla být provedena tento druh podmínek:

Nyní můžeme vytvořit jednotný systém rovnic (lineární) s neznámými u, v, w:

V našem případě, že X, Y nebo Z představuje libovolný bod, který splňuje rovnice (1). Vzhledem k tomu, rovnice (1), a soustavu rovnic (2) a (3) Systém rovnic je uvedeno na obrázku výše, vektor splňuje N (A, B, C), který je netriviální. Je to proto, že určujícím prvkem systému je nulová.

Rovnice (1), které máme, to je rovnice roviny. 3-bodový opravdu jde, a je snadno kontrolovatelná. K tomu, abychom rozšířit determinant živly v prvním řádku. Ze stávající vlastnosti determinant vyplývá, že naše letadlo současně protíná tři původně předem stanoveného bodu (x 'y', z ‚), (x " y", z„), (x '' ', y' '', z '' '). Tak jsme se rozhodli úkol před námi.

Úhel vzepětí mezi rovinami

Úhel vzepětí je prostorový geometrický tvar tvořený dvěma polovičními rovin, které vycházejí z přímého směru. Jinými slovy, část prostoru, který je omezen na polorovin.

Předpokládejme, že máme dvě roviny s následujícími rovnicemi:

Víme, že vektor N = (A, B, C) a N¹ = (A¹, V¹, S¹) podle předem stanovených rovinách jsou kolmé. V tomto ohledu je úhel φ mezi vektory N a N¹ rovnoramenné (prostorový úhel), který je umístěn mezi těmito rovinami. Skalární součin je dána vztahem:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

právě proto,

cos = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a? + s? + V²)) * (√ (A¹) ² + (V¹) ² + (S¹) ²)).

To je dost, aby zvážila, že 0≤φ≤π.

Vlastně dvou rovin, které se protínají, tvoří dvě úhel (vzepětí): cp ₁ a φ _2. Jejich součet je roven n (cp ₁ + ₂ = cp n). Co se týče jejich cosines, jejich absolutní hodnoty jsou stejné, ale jsou různé značky, to znamená, že cos ₁ = -cos φ _2. Pokud se v rovnici (0) nahrazuje A, B a C-A, -B a -C respektive rovnice získáme, určí ve stejné rovině, jediný úhel φ v rovnici cos f = NN ¹ / | N || N ¹ | To bude nahrazena n-cp.

Rovnice kolmé rovině

Called kolmé rovině, mezi nimiž je úhel je 90 stupňů. Použití materiálu je uvedeno výše, lze nalézt rovnice rovině kolmé na druhou. Předpokládejme, že máme dvě roviny: Ax + By + Cz + d = 0, a + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Dá se říci, že jsou kolmé pokud cos = 0. To znamená, že NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Rovnice rovině rovnoběžné

To se odkazovalo na dvou paralelních rovinách, které neobsahují žádné společné body.

Podmínkou paralelních rovinách (jejich rovnice jsou stejné jako v předchozím odstavci), je to, že vektory N a N¹, které jsou kolmé k nim, kolineární. To znamená, že jsou splněny tyto podmínky přiměřenosti:

A / A¹ = B / C = V¹ / S¹.

Jsou-li proporcionální termíny rozšířila - A / A¹ = B / C = V¹ / S¹ = DD¹,

to znamená, že datové rovině stejné. To znamená, že rovnice Ax + By + Cz + D = 0 a + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 popisu jedné rovině.

Vzdálenost od bodu k rovině

Předpokládejme, že máme rovině P, která je dána (0). Je třeba najít vzdálenost od bodu o souřadnicích (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Je třeba uvést rovnici do normálního vzhledu roviny II, aby ji:

(Ρ, v) = p (r≥0).

V tomto případě, ρ (x, y, z) je poloměr vektor našeho bodu Q, který se nachází na n p - n je délka kolmice, který byl propuštěn z nulového bodu, v - je jednotkový vektor, který je uspořádán ve směru a.

Rozdíl ρ-ρº poloměr vektor z bodu Q = (x, y, z), které patří do n a poloměr vektor daném bodě Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) je takový vektor, absolutní hodnota projekce na v rovná vzdálenost d, která je nutné najít z Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ale

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Tak to dopadá,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nyní je jasné, že pro výpočet vzdálenosti D od ₀ do Q rovině P, je nutno použít normální půdorysný pohled, rovnice, posun vlevo p, a poslední místo, x, y, z náhradní (hₒ, uₒ, zₒ).

Proto jsme zde absolutní hodnota výsledného výrazu, který je vyžadován d.

Pomocí parametrů jazyka, dostaneme zřejmé:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (a? + V² + s?).

Pokud je určený bod Q ₀ je na druhé straně od roviny P, jako je původ, pak mezi vektorem ρ-ρ ⁰ a v je tupý úhel, tedy:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

V případě, že bod Q ₀ ve spojení s původem se nachází na stejné straně U, je vytvořen ostrý úhel, který je:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Výsledkem je, že v prvním případě (pc ^0, v)> p, ve druhém (pc ^0, v)

A její tečná rovina rovnice

Pokud jde o rovinu na povrchu v bodu styku Mº - rovina obsahující všechny možné tečnu k křivkou proloženou tomto bodu na povrchu.

Díky této povrchové formy rovnice F (x, y, z) = 0 v rovnici tečné roviny tečném bodě Mº (hº, uº, zº) by bylo:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Je-li povrch nastaven explicitně z = f (x, y), pak se tečná rovina je popsána rovnicí:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Průsečík dvou rovinách

V trojrozměrném prostoru je souřadnicový systém (obdélníkový) Oxyz, vzhledem k tomu dvě roviny P ‚a P‘, které se překrývají a nesplývají. Vzhledem k tomu, jakékoli rovině, která je v pravoúhlém souřadném systému definována obecnou rovnicí, předpokládáme, že n ‚a n„jsou definovány rovnicemi A'x + V'u S'z + + D‘= 0 a A" + B x '+ y s "z + D" = 0. V tomto případě mají normální n '(A', B 'C') a rovinou P 'a běžnou n "(A", B "C") v rovině P'. Jak se naše letadlo nejsou rovnoběžné a neshodují, pak tyto vektory nejsou kolineární. Užívání jazyka matematiky, musíme tento stav může být zapsán jako: n '≠ n "È (A', B 'C') ≠ (lambda * a", λ * v "λ * C"), λεR. Nechť je přímka, která leží na křižovatce P ‚a P“, bude označen písmenem a, v tomto případě = P‘∩ P".

a - linka se skládá z většího počtu bodů (společné) roviny P ‚a P“. To znamená, že souřadnice jakémkoli místě, které patří do linie A, musí současně splňovat rovnici A'x + V'u S'z + + D '= 0 a A „x + B' + C y" z + D "= 0. To znamená, že souřadnice bodu bude konkrétní řešení těchto rovnic:

Výsledkem je, že roztok (celkově) tohoto systému rovnic se určení souřadnic každého z bodů na linii, která bude působit jako průsečík P ‚a P“, a stanovení řádek v souřadnicovém systému Oxyz (obdélníkový) prostor.