Kyvadlo: doba a zrychlení vzorce

Mechanický systém, který se skládá z materiálu, bodu (těla), který visí na beztíže neroztažitelného vlákna (její hmota je zanedbatelná ve srovnání s hmotnosti těla) v jednotném gravitačním poli, nazvaném matematické kyvadlo (jiný název - oscilátor). Existují i jiné typy zařízení. Místo toho, aby vlákna beztíže tyče mohou být použity. Kyvadlo je jasně odhalují podstatu mnoha zajímavých jevů. Když malá amplituda vibrace svého návrhu se nazývá harmonická.

Obecné informace o mechanické soustavy

Vzorec doby kmitu kyvadla byl vyšlechtěn holandské vědec Huygens (1629-1695 GG.). Tento moderní of Isaac Newton byl velmi rád mechanického systému. V roce 1656 vytvořil první hodinky s mechanismem kyvadla. Měřili čas s extrémní přesností na ty časy. Tento vynález byl hlavní krok ve vývoji fyzikálních experimentech a praktických činností.

V případě, že kyvadlo je v rovnovážné poloze (visí ve svislém směru) je gravitační síla bude dáno napínací síly nitě. Ploché kyvadlo na vytvořen z neroztažitelného přízí je systém se dvěma stupni volnosti komunikace. Při změně pouze jedna složka, která mění vlastnosti všech jeho částí. Například, v případě, že vlákno je nahrazen tyče, pak je tento mechanický systém je pouze 1 stupeň volnosti. Co tedy vlastnosti matematického kyvadla? V tomto jednoduchém systému, pod vlivem periodické perturbace, objeví chaos. V tomto případě, když je závěsný bod nepohybuje, a osciluje kyvadlo je nové rovnovážné polohy. Pokud rychlé výkyvy nahoru a dolů mechanického systému se stává stabilní pozici „vzhůru nohama“. To má také svůj název. Nazývá se Kapitza kyvadlo.

Vlastnosti kyvadla

Kyvadlo má velmi zajímavé vlastnosti. Všechny z nich jsou podporovány dobře známých fyzikálních zákonů. Doba kývání kyvadla jakékoliv jiné závisí na různých okolnostech, jako je velikost a tvar těla, je vzdálenost mezi bodem zavěšení a těžiště, rozložení hmotnosti vzhledem k tomuto bodu. To je důvod, proč definice visí období těla je poměrně náročná. Je mnohem jednodušší pro výpočet doby jednoduchého kyvadla, vzorec, který je uveden níže. Jako výsledek pozorování těchto modelů může být nastavena na podobných mechanických systémů:

• V případě, při zachování stejné délky kyvadla, zavěšený z různých zatížení, doba kmitání se stejnou, i když jejich hmotnost se bude značně lišit. V důsledku toho je doba kyvadla nezávisí na hmotnosti nákladu.

• V případě, že systém začne klesat v kyvadla není příliš velký, ale různé úhly, bude kolísat ve stejném období, ale v různých amplitudách. Zatímco odchylky od centra bilance není příliš velké výkyvy v jejich podobě bude dost blízko harmonické. Doba takového kyvadla nezávisí na vibrační amplitudy. Tato vlastnost mechanického systému se nazývá isochronism (řecky „Chronos“ - čas „Izosov“ - rovný).

Doba jednoduchého kyvadla

Tento obrázek představuje přirozené období kmitání. Přes komplexní formulace, přičemž samotný proces je velmi jednoduchý. V případě, že délka příze matematického kyvadla L, a gravitační zrychlení g, tato hodnota je rovna:

T = 2π√L / g

Malá doba kmitů v žádném případě není závislá na hmotnosti kyvadla a amplitudy kmitání. V tomto případě, jak je matematická kyvadlo pohybuje se sníženou délkou.

Kmity matematického kyvadla

Matematické kyvadlo kmitá, což lze popsat jednoduchou diferenciální rovnicí:

x + ω2 sin x = 0,

kde x (t) - neznámé funkce (tento úhel vychýlení ze spodní rovnovážné polohy na čase t, vyjádřený v radiánech); ω - pozitivní konstanta, která je určena z parametrů kyvadla (co = √g / L, kde g - gravitační zrychlení, a L - délka jednoduchého kyvadla (suspenze).

Rovnice malé oscilace blízko rovnovážné polohy (harmonická rovnice) následovně:

x + ω2 sin x = 0

Kmitavý pohyb kyvadla

Kyvadlo, což jsou malé oscilace, pohybující se sinusoidu. Druhého řádu diferenciální rovnice splňuje všechny požadavky a parametry takového pohybu. Chcete-li určit cestu, kterou je třeba nastavit rychlost a souřadnic, které se později určené nezávislé konstanty:

x = a sin (θ ₀ +? t),

kde θ ₀ - počáteční fáze, A - amplituda kmitání, ω - cyklický frekvence určit z rovnice pohybu.

Kyvadlo (vzorec pro velké amplitudy)

Tento mechanický systém, plní své oscilací s velkou amplitudou, to je předmětem složitějších dopravních předpisů. se vypočítá podle vzorce pro takovou kyvadla:

sin x / 2 = u * sn (? t / u),

kde sn - sine Jacobi, který pro u <1 je periodická funkce, a pro malé u se shoduje s jednoduchým goniometrické sinus. Hodnota u je určen následujícím výrazem:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

kde ε = E / ML2 (VS 2 - Energie kyvadla).

Stanovení nelineární kmitání období kyvadla podle následujícího vzorce:

T = 2π / Ω,

kde Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - eliptický integrál, π - 3,14.

pohyb kyvadla na separatrix

Je to tzv separatrix trajektorii dynamického systému, ve kterém dvourozměrném fázového prostoru. Kyvadlo se pohybuje na non-periodické. V nekonečně okamžiku klesne z krajní horní polohy směrem k nulové rychlosti, a pak se postupně získává. Nakonec se zastavil, vrací do své původní polohy.

Je-li amplituda kmitání kyvadla se blíží číslo pí, se říká, že pohyb ve fázi rovině se nachází v blízkosti separatrix. V tomto případě, za působení malého periodickým hnacím síla mechanického systému vykazuje chaotické chování.

V případě jednoduchého kyvadla z rovnovážné polohy s úhlem cp dochází tangenciální síla Fτ = -mg hříchu cp gravitaci. „Mínus“ znak znamená, že tangenciální složka směřuje v opačném směru ze směru odchylky kyvadla. Když se odkazuje pomocí kyvadla posunutí x podél kruhového oblouku s poloměrem L se rovná jeho úhlového přemisťování cp = x / L. Druhý zákon Isaaka Nyutona, k promítání vektoru zrychlení a síly získání požadované hodnoty:

mg τ = Fτ = -mg sin x / l

na tomto poměru základě, je zřejmé, že kyvadlo je nelineární systém, jako síla, která má tendenci vrátit se do své rovnovážné polohy, není vždy úměrné posuvu x, a sin x / L.

Pouze tehdy, když matematické kyvadlo provádí drobné vibrace, to je harmonický oscilátor. Jinými slovy, to se stává mechanický systém, schopný vykonávat harmonické kmity. Tato aproximace platí pro téměř úhly 15-20 °. Kyvadlo s velkou amplitudou není harmonický.

Newtonův zákon pro malé kmity kyvadla

V případě, že mechanický systém provádí malé oscilace, bude od 2. Newtonův zákon vypadat takto:

mg τ = Fτ = -m * g / l * x.

Na tomto základě lze dojít k závěru, že tečné zrychlení jednoduchého kyvadla je úměrná jeho posunutí s nápisem „minus“. To je stav, kdy se systém stává harmonický oscilátor. Modul činitel úměrnosti mezi výtlakem a zrychlením je roven druhou mocninu úhlové frekvence:

ω02 = g / l; ω0 = √ g / L.

Tento vzorec odpovídá vlastní frekvenci malých kmitů tohoto typu kyvadla. Na tomto základě,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Výpočty na základě zákona zachování energie

Vlastnosti oscilující pohyby kyvadlo lze popsat pomocí zákona zachování energie. Je třeba mít na paměti, že potenciální energie kyvadla v gravitačním poli je:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Plná mechanická energie se rovná kinetické a maximální potenciál: Epmax = Ekmsx = E

Poté, co jste napsal zákon zachování energie, přičemž derivát levé a pravé straně rovnice:

Ep + Ek = konst

Vzhledem k tomu, derivát z konstant je rovno 0, pak (Ep + Ek) ‚= 0. derivát součtu se rovná součtu derivátů:

Ep '= (mg / l * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / l * v + Ek' = (MV2 / 2) = m / 2 (v2) ‚= m / 2 * 2v * v ‚= mv * α,

proto:

Mg / l * X + MVA = v (mg / l * x + m α) = 0.

na poslední vzorce základě najdeme: α = - g / L * x.

Praktická aplikace matematického kyvadla

Zrychlení volného pádu se mění podle zeměpisné šířky, protože hustota kůry kolem planety nejsou totožné. Tam, kde se vyskytují horniny s vyšší hustotou, to bude o něco vyšší. Zrychlení z matematického kyvadla je často používán pro průzkum. Ve svém nápovědy hledat různé minerály. Jednoduše počítá počet kmitů kyvadla, je možné detekovat uhlí nebo rudy v útrobách Země. To je způsobeno tím, že tyto prostředky mají hustotu a hmotnost větší než ležet pod uvolněné kameny.

Matematické kyvadlo budou použity těmito významnými učenci jako Sokrata, Aristotela, Platóna, Plutarch, Archimedes. Mnoho z nich věří, že mechanický systém může mít vliv na osud a život. Archimedes používal matematické kyvadlo se svými výpočty. V současné době mnoho okultisté i duchovní použít tento mechanický systém pro provádění svých proroctví, nebo pátrání po nezvěstných lidí.

Slavný francouzský astronom a vědec, Flammarion pro jejich výzkum také používal matematický kyvadlo. Tvrdil, že s jeho pomocí se mu podařilo předpovědět objev nové planety, vznik Tunguska meteorit, a dalších důležitých událostí. Během druhé světové války v Německu (Berlín) pracoval jako specializovaný ústav kyvadla. V současné době takový výzkum není k dispozici Mnichov institut parapsychologie. Jeho práce s kyvadlem pracovníci této instituce zvané „radiesteziey“.