Co je aritmetika? Hlavní teorém aritmetiky. Binární aritmetika

Co je aritmetika? Kdy lidstvo začalo používat čísla a pracovat s nimi? Odkud jdou kořeny tak běžných pojmů, jako jsou čísla, zlomky, odčítání, doplnění a množení, které člověk tvoří nedílnou součástí jeho života a světového názoru? Starověká řecká mysl obdivovala takové vědy jako matematika, aritmetika a geometrie, jako nejkrásnější symfonie lidské logiky.

Snad aritmetika není tak hluboká jako ostatní vědy, ale co by se s nimi stalo, zapomenout na základní tabulku násobení? Obvyklé logické myšlení s použitím čísel, zlomků a dalších nástrojů nebylo pro lidi snadné a dlouhou dobu nebylo pro naše předky dostupné. Ve skutečnosti, před vývojem aritmetiky, žádná oblast lidského poznání nebyla skutečně vědecká.

Aritmetika je abeceda matematiky

Aritmetika je věda o počtech, s nimiž se každá osoba začíná seznámit s fascinujícím světem matematiky. Jak říká M. Lomonosov, aritmetika je brána stipendia, která nám otevírá cestu ke světovým poznatkům. Ale má pravdu, může být znalost světa oddělena od znalostí čísel a dopisů, matematiky a řeči? Snad ve starých dnech, ale ne v moderním světě, kde rychlý vývoj vědy a techniky diktuje jeho zákony.

Slovo "aritmetický" (řecký "arithmos") řeckého původu znamená "číslo". Studuje číslo a vše, co s nimi může být spojeno. Jedná se o svět čísel: různé akce na číslech, numerická pravidla, řešení problémů, které zahrnují násobení, odčítání a tak dále.

Je obecně přijímané, že aritmetika je počátečním krokem matematiky a pevným základem pro složitější úseky, jako je algebra, matanalýza, vyšší matematika a tak dále.

Hlavním předmětem aritmetiky

Základem aritmetiky je celé číslo, jehož vlastnosti a zákonitosti jsou zvažovány ve vyšší aritmetické nebo číselné teorii. Ve skutečnosti síla celé budovy - matematika závisí na tom, jak dobře je správný přístup při zvažování tak malého bloku jako přirozeného čísla.

Otázka toho, co je aritmetika, může být proto jednoduše zodpovězena: je to věda čísel. Ano, o obvyklých sedmi, devíti a všem této různorodé komunitě. Stejně jako nemůžete psát dobré a průměrné básně bez elementární abecedy, bez aritmetiky nemůžete vyřešit ani základní problém. To je důvod, proč všechny vědy pokročily teprve po vývoji aritmetiky a matematiky, což je předem jen soubor předpokladů.

Aritmetická - fantomová věda

Co je aritmetika - přírodní věda nebo fantom? Ve skutečnosti, jak argumentovali starověcí řečtí filozofové, neexistují čísla ani čísla v realitě. To je jen fantom, který je vytvořen v lidském myšlení při zvažování životního prostředí a jeho procesů. Ve skutečnosti, co je číslo? Nikde jinde nevidíme něco takového, které by mohlo být nazýváno číslem, spíše číslo je způsob lidské mysli ke studiu světa. A možná je to studium sami zevnitř? Filozofové o tom tvrdí po mnoho staletí v řadě, a proto nevyužíváme vyčerpávající odpověď. Tak či onak, aritmetika dokázala zaujmout své postoje tak pevně, že v dnešním světě nikdo nemůže být považován za sociálně přizpůsobený bez znalosti jeho základů.

Jak se objevilo přirozené číslo

Samozřejmě, že hlavním předmětem ovládán aritmetickým je přirozené číslo, například 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... atd. Aritmetika přirozených čísel je výsledkem počítání běžných objektů, například krav na louce. Přesto definice "hodně" nebo "malého" jednou přestala vyhovovat lidem a musel jsem vymyslet lepší techniky počítání.

Ale opravdový průlom se stalo, když lidská myšlenka dosáhla bodu, že je možné označit stejným číslem "dva" dva kilogramy, dva cihly a dvě části. Faktem je, že potřebujete abstrakovat z forem, vlastností a významu objektů, pak můžete provést některé akce s těmito objekty ve formě přirozených čísel. Takto se narodila aritmetika čísel, která se dále rozvíjela a rozšiřovala a zaujímala stále větší pozice v životě společnosti.

Takové hluboké pojmy čísel, jako nulové a záporné číslo, zlomky, notace čísel v číslech a jinými způsoby, mají nejbohatší a nejzajímavější historii vývoje.

Aritmetické a praktické Egypťany

Dva z nejstarších lidských společníků ve studiu okolního světa a řešení každodenních problémů jsou aritmetika a geometrie.

Předpokládá se, že historie aritmetiky pochází z Antického východu: v Indii, Egyptě, Babylonu a Číně. Tak, papyrus Rinda egyptského původu (pojmenovaný tak, protože patřil stejnojmennému majiteli), pocházel z XX století. BC, s výjimkou dalších cenných dat, obsahuje rozklad jedné frakce součtem frakcí s různými jmenovateli a čitatelem rovným jednomu.

Například: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Ale jaký je důvod tak komplexního rozkladu? Faktem je, že egyptský přístup nemohl tolerovat abstrahované myšlení o číslech, naopak, výpočty byly provedeny pouze pro praktické účely. To znamená, že egyptský se bude zabývat takovou věcí, jako jsou výpočty, a to výlučně za účelem vybudování hrobu. Bylo nutné vypočítat délku okraje konstrukce a to donutilo člověka, aby se posadil na papyrus. Zdá se, že egyptský pokrok ve výpočtech byl způsoben spíše masivní stavbou než láskou vědy.

Z tohoto důvodu výpočty nalezené na papyru nemohou být nazývány odrazy na zlomky. S největší pravděpodobností je to praktické zadání, které v budoucnu pomohlo řešit problémy s frakcemi. Starověcí Egypťané, kteří neznaly násobící tabulky, produkovali spíše dlouhé výpočty, rozložené do mnoha dílčích úkolů. Možná je to jedna z těch dílčích úkolů. Není těžké zjistit, že výpočty s takovými přípravky jsou velmi namáhavé a málo vyhlídky. Možná proto z tohoto důvodu nevidíme velký přínos starověkého Egypta k rozvoji matematiky.

Starověké Řecko a filozofická aritmetika

Mnohé znalosti starověkého východu byly úspěšně zvládnuty starými Řeky, známými pro milovníky abstraktních, abstraktních a filozofických úvah. Praxe z nich neměla žádný zájem, ale je obtížné najít ty nejlepší teoretiky a myslitele. To se projevilo ve prospěch vědy, neboť je nemožné se ponořit do aritmetiky, aniž bychom ji porušili realitou. Samozřejmě můžete množit 10 krav a 100 litrů mléka, ale nebude možné jít daleko.

Hluboce si mysleli, že Řekové opustili významnou stopu v dějinách a jejich spisy nás dosáhly:

• Euclid a "Začátek".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zeno.
• Anaxagoras.

A samozřejmě, Řekové, kteří přeměňují všechno na filozofii, a zvláště pak pokračovatelé pythagorského případu, byli tak uneseni čísly, které považují za tajemství harmonie světa. Čísla byla takto studována a studována, že některé z nich a jejich párům byly přiřazeny zvláštní vlastnosti. Například:

• Perfektní čísla jsou ty, které se rovna součtu všech jejich dělitelů, s výjimkou samotného čísla (6 = 1 + 2 + 3).
• Přátelské čísla jsou čísla, z nichž jedna je rovna součtu všech dělitelů druhého a naopak (Pythagoreans jen znal jeden takový pár: 220 a 284).

Řekové, kteří věřili, že věda potřebovala být milována a nebyla s ní kvůli zisku, dosáhla velkého úspěchu, zkoumala, hrála a přidala čísla. Je třeba poznamenat, že ne všechny jejich nálezy nalezly široké uplatnění, některé z nich zůstaly pouze "pro krásu".

Východní myslitelé středověku

Podobně, ve středověku, aritmetika dluží svůj vývoj východním současníkům. Indiáni nám dali čísla, které aktivně využíváme, takový pojem jako "nula" a poziční verzi systému kalkulů, známého modernímu vnímání. Od al-kashy, která pracovala v Samarkandě v 15. století, jsme zdědili desítky, bez nichž není obtížné si představit moderní aritmetiku.

V mnoha ohledech se díky spolupráci s italským vědcem Leonardem Fibonacciem, který napsal knihu "The Abacus Book", představil východní inovace, se Evropa stala známou díky úspěchu východu. Stala se základním kamenem vývoje algebry a aritmetiky, výzkumu a vědecké činnosti v Evropě.

Ruská aritmetika

A nakonec se aritmetika, která našla své místo a zakořenila v Evropě, začala šířit do ruských zemí. První ruská aritmetika byla vydána v roce 1703 - byla to kniha o aritmetice Leonty Magnitsky. Po dlouhou dobu zůstala jedinou výukovou příručkou pro matematiku. Obsahuje počáteční momenty algebry a geometrie. Čísla, které používaly v příkladech první v ruské učebnici aritmetiky, arabštině. Ačkoli se arabské číslice objevovaly dříve, na rytinách ze 17. století.

Samotná kniha je vyzdobena obrazy Archimedes a Pythagoras a na prvním listu - obraz aritmetiky ve formě ženy. Sedí na trůnu, pod ním je napsáno v hebrejštině slovo označující jméno Boží a na schodech, které vedou k trůnu, jsou zapsána slova "rozdělení", "násobení", "doplnění" apod. Je možné si jen představit, Takové pravdy, které jsou nyní považovány za samozřejmé.

Učebnice o délce 600 stránek popisuje jak základy, jako tabulka přidávání a násobení, tak aplikace pro navigační vědy.

Není překvapením, že autor si pro svou knihu vybral obrazy řeckých myslitelů, protože on sám byl okouzlený krásou aritmetiky, říká: "Aritmetika je čitatel, existuje poctivé, bezohledné umění ...". Tento přístup k aritmetice je zcela opodstatněný, protože je jeho rozšířeným úvodem, který lze považovat za začátek rychlého rozvoje vědeckého myšlení v Rusku a všeobecného vzdělávání.

Zbytečné počáteční čísla

Prvotní číslo je přirozené číslo, které má pouze 2 kladné děliče: 1 a samo. Všechna ostatní čísla, bez počítání 1, se nazývají kompozitní. Příklady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11 a všechny ostatní, které nemají jiné děliče, s výjimkou čísla 1 a sami.

Co se týče čísla 1, je to na zvláštním účtu - je zde přesvědčení, že to nemusí být považováno za jednoduché ani složité. Jednoduché na první pohled jednoduché číslo skrývá spoustu nevyřešených záhad uvnitř sebe.

Euclidova věta říká, že primární čísla jsou nekonečné množiny a Eratosthenes přišel s speciálním aritmetickým "sítem", které vyvede neklidné počty a zanechává jen ty jednoduché.

Její podstatou je zdůraznit první číslo, které není zdůrazněno, a v budoucnu je třeba odstranit ty, které jsou pro ně více. Tento postup opakujeme mnohokrát a získáme tabulku prvočísel.

Hlavní teorém aritmetiky

Z pozorování na primární čísla je třeba speciálně zmínit základní teorém aritmetiky.

Základní věta aritmetiky říká, že celé číslo větší než 1 je buď jednoduché, nebo může být jedinečným způsobem rozloženo na produkt prvočísel v rámci pořadí faktorů.

Hlavní věta aritmetiky se ukázala být poněkud těžkopádná a její chápání již není podobné nejjednodušším základům.

Na první pohled jsou počáteční čísla elementární koncepcí, ale není tomu tak. Fyzika také jednou považovala elementární atom, dokud nenajde celý vesmír uvnitř. Krásný příběh matematika Don Tsagira "První padesát milionů prvočísel" se věnuje prvotním číslům.

Od "tří jablek" až po deduktivní zákony

To, co může být skutečně nazýváno posíleným základem celé vědy, je zákony aritmetiky. Jako dítě se všichni setkávají s aritmetikou, studují počet nohou a pera v panenech, počet kostek, jablek apod. Takže studujeme aritmetiku, která vede ke složitějším pravidlům.

Celý náš život nás obeznámen s pravidly aritmetiky, které se pro běžného člověka staly nejužitečnějšími věcmi. Studium čísel je "aritmetický-dítě", který zavádí osobu do světa čísel v podobě čísel v raném dětství.

Vyšší aritmetika je deduktivní věda, která studuje zákony aritmetiky. Většina z nich víme, i když možná nevíme jejich přesné formulace.

Zákon přidání a násobení

Jakékoliv dvě přirozená čísla a a b mohou být vyjádřena jako + b, což je také přirozené číslo. Pokud jde o přidání, platí následující zákony:

• Komutativní, která říká, že součet se nemění z permutace summands v místech, nebo a + b = b + a.
• Asociativní , která říká, že součet není závislý na způsobu seskupování summands v místech, nebo + (b + c) = (a + b) + c.

Pravidla aritmetiky, jako je přidání, jsou některé z elementárních, ale jsou používány všemi vědami, nemluvě o každodenním životě.

Jakékoliv dvě přirozená čísla a a b mohou být vyjádřena v produktu a * b nebo a * b, což je také přirozené číslo. Stejné komutativní a asociativní zákony platí pro produkt, pokud jde o přidání:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

Je zajímavé, že existuje zákon, který kombinuje sčítání a násobení, také nazývané distributivní nebo distributivní právo:

A (b + c) = ab + ac

Tento zákon nás skutečně učí pracovat s hranatými závorkami a odhalovat je, a proto můžeme pracovat s komplexnějšími formulemi. To jsou přesně ty zákony, které nás vedou skrz bizarní a složitý svět algebry.

Zákon aritmetického řádu

Pořádkové právo používá každodenní lidskou logiku, porovnává hodiny a počítá účty. A přesto je třeba formalizovat ve formě konkrétních formulací.

Pokud máme dvě přirozená čísla a a b, pak jsou možné následující možnosti:

• A je b nebo a = b;
• A je menší než b, nebo a
• A je větší než b nebo a> b.

Ze všech tří možností může být spravedlivé. Základní zákon, který řídí pořadí, říká: pokud

Existují také zákony, které spojují pořadí s násobením a přidáním: pokud

Zákony aritmetiky nás naučí pracovat s čísly, znaky a hranatými závorkami a přeměňovat vše na harmonickou symfonii čísel.

Pozicní a neposlušné systémy výpočtu

Můžeme říci, že čísla jsou matematickými jazyky, z nichž mnohé závisí. Existuje mnoho počítačových systémů, které se podobně jako abecedy různých jazyků liší od sebe.

Zvažte číselný systém z hlediska vlivu polohy na kvantitativní hodnotu číslice v této pozici. Například římský systém není polohový, kde každé číslo je kódováno specifickou sadou speciálních symbolů: I / V / X / L / C / D / M. Jsou rovni 1/5/10/50/100/500 / 1000. V takovém systému číslo nezmění svou kvantitativní definici v závislosti na tom, co stojí: první, druhé, atd. Chcete-li získat další čísla, musíte přidat základní. Například:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Známější je číselný systém, který používá arabské číslice, poziční. V takovém systému číslo číslice určuje počet číslic, například třímístná čísla: 333, 567 atd. Hmotnost libovolné číslice závisí na poloze, na které je tato nebo tato číslice umístěna, například číslo 8 v druhé pozici má hodnotu 80. To je charakteristické pro desetinný systém, existují i jiné polohovací systémy, například binární.

Binární aritmetika

Jsme obeznámeni s desítkovým systémem výpočtu, který se skládá z jednočíselných a vícedístných čísel. Číslice vlevo v multi-místném čísle je desetkrát větší než vpravo. Takže jsme četli 2, 17, 467 atd. Úplně odlišná logika a přístup pro sekci, která se nazývá "binární aritmetika". Není to překvapující, protože binární aritmetika není vytvořena pro lidskou logiku, ale pro počítač. Jestliže aritmetika čísel nastala při počítání objektů, které později abstrahovaly od vlastností objektu k "holé" aritmetice, pak to nefunguje s počítačem. Aby mohli sdílet své znalosti s počítači, člověk musel vymyslet tento model výpočtu.

Binární aritmetická práce s binární abecedou, která se skládá pouze z 0 a 1. A použití této abecedy se nazývá binární systém počtu.

Rozdíl mezi binární aritmetikou a desítkovou je, že důležitost pozice vlevo již není 10, ale 2krát. Binární čísla mají formu 111, 1001 atd. Jak porozumět takovým číslům? Takže zvážit číslo 1100:

1. První číslice vlevo je 1 * 8 = 8, pamatujeme si, že čtvrtá číslice, a proto musí být vynásobena 2, získáme pozici 8.
2. Druhá číslice je 1 * 4 = 4 (pozice 4).
3. Třetí číslice je 0 * 2 = 0 (pozice 2).
4. Čtvrtá číslice je 0 * 1 = 0 (pozice 1).
5. Takže naše číslo je 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To znamená, že když přepnete na novou číslici vlevo, jeho význam v binárním systému se vynásobí číslem 2 a v desítkové desetině číslem 10. Tento systém má jedno mínus: je příliš velký růst číslic, které jsou nezbytné pro psaní čísel. Příklady reprezentace desetinných čísel ve formě dvoumístných čísel naleznete v následující tabulce.

Desítková čísla v binární formě jsou zobrazena níže.

Používají se také osmičkové a hexadecimální systémy číselníku.

Tato tajemná aritmetika

Co je aritmetika, "dvakrát dvě" nebo neznámá tajemství čísel? Jak můžete vidět, aritmetika se na první pohled může zdát jednoduchá, ale její nezvyklé lehkost je podvodná. Lze jej studovat spolu s teta Sovou z dětského kresleného seriálu Arithmetic-baby a můžete se ponořit do hlubokého vědeckého výzkumu téměř filozofického řádu. V historii šla z počítání předmětů k uctívání krásy čísel. Jediná věc je jistá: se zavedením základních postulátů aritmetiky se může věda spoléhat na své silné rameno.