Fourierova transformace. Rychlá Fourierova transformace. Diskrétní Fourierova transformace

Fourierova transformace - transformace, která sdružuje určitou funkci reálné proměnné. Tato operace se provádí pokaždé, když vnímáme různé zvuky. Ucho produkuje automatické „výpočet“, které splňují naše mohou vědomí teprve po přezkoumání úseku vyšší matematiky. sluchového orgánu v lidském transformaci konstrukty, ve kterých je zvuk (konvenční vibrační pohyb částic v pružné médiu, které se šíří ve formě vlny v pevné, kapalné nebo plynné médium) za předpokladu, v rozmezí po sobě jdoucích hodnot úrovně hlasitosti tónů různých výšek. Poté, mozek změní informace do celého známý zvuk.

Matematická Fourierova transformace

Konverze zvukových vln nebo jiných procesů (vibrací emisí světla a oceánů přílivu a hvězdné nebo slunečních cyklů) může být provedeno i pomocí matematických metod. Za použití těchto technik, funkce může být rozšířena zavedením vibrační procesy uvedené sinusových složek, tj zvlněné křivky, které jdou od minima do maxima a opět na minimum, jako je vlna moře. Fourierova transformace - transformační funkce, která popisuje fáze nebo amplitudy každé sinusoidy, odpovídající konkrétní frekvenci. Fáze je výchozím bodem na křivce, a amplitudy - jeho výška.

Fourierova transformace (příklady jsou zobrazeny na fotografii) je velmi mocný nástroj, který se používá v různých oblastech vědy. V některých případech se používá ve formě roztoku poměrně složité rovnice, které popisují dynamické procesy probíhající pod vlivem světla, tepla nebo elektrické energie. V ostatních případech, to vám umožní definovat pravidelnou součástí komplexních průběhů, díky tomu může být pravda interpretovat různé experimentální pozorování v chemii, medicíně a astronomii.

historické informace

První osoba použít tuto metodu byl francouzský matematik Zhan Batist Fure. Konverze, následně po něm pojmenován, byl původně použitý popisovat mechanismus vedení tepla. Fourier celý svůj dospělý život zabývající se studiem vlastností tepla. Udělal obrovský přínos pro matematickou teorii určení kořenů algebraických rovnic. Fourier byl profesorem analýzy na Ecole Polytechnique, tajemníka egyptologického ústavu, byl císařský servis, který způsobil rozruch v době výstavby silnice do Turín (pod jeho vedením byl vypuštěn z více než 80 tisíc kilometrů čtverečních malarických močálů). Nicméně, to vše aktivismus nezastavilo vědec zabývající se matematické analýzy. V roce 1802 byla odvozena rovnice, která popisuje šíření tepla v pevných látek. V roce 1807 vědci objevili způsob řešení této rovnice, která se stala známou jako „Fourierova transformace“.

analýza tepelná vodivost

Výzkumníci použili matematickou metodu popsat mechanismus vedení tepla. Výhodným příkladem, kde bez potíží výpočtu je šíření tepelné energie železným kroužkem, jeden díl ponoří do ohně. Provádět experimenty Fourierova rozžhavený část kruhu a pohřbít ho v jemném písku. Poté, měření teploty provádí na protilehlé části. Zpočátku je rozvod tepla je nepravidelný: součástí kruhu - za studena, a druhý - za tepla, mezi zónami lze pozorovat prudký teplotní gradient. Nicméně, během rozložení tepla přes kovový povrch se stává jednotnější. Takže, jakmile se tento proces má podobu sinusoidy. První graf se postupně zvyšuje, a také snižuje hladce, přesně uvedené zákony variantě kosinu nebo funkce sinus. Vlna se postupně vyrovnává a v důsledku toho se teplota sjednotí na celém povrchu prstence.

Autorem této metody předpokládá, že počáteční rozdělení je zcela nepravidelná lze rozdělit do několika základních sine vln. Každý z nich bude mít svou fázi (počáteční poloha) a své maximální teploty. Tak každá tyto změny komponent od minima do maxima a zpět na celou otáčku kolem časů kruh celé číslo. Složka s periodou, která se označuje jako základní harmonické, a hodnota se dvěma nebo více období - druhý a tak dále. Například, matematické funkce, která popisuje maximální teplotu, fázi nebo polohu nazývá Fourierova transformace distribuční funkce. Scientist přinesl jedinou složku, která je obtížné matematického popisu nástrojů snadno použitelných - řádky sin a cos, ve výši dávat počáteční distribuci.

Podstatou analýzy

Při použití této analýzy na konverzi rozložení tepla na tuhý předmět, který má prstencový tvar, matematik odůvodněné, že zvýšení doby sinusových složek vede k jeho rychlému tlumení. To je jasně vidět na první a druhé harmonické. Konečná teplota dvakrát tak maximální a minimální hodnoty v jednom průchodu, a v první - pouze jednou. Ukazuje se, že vzdálenost, kterou urazí za tepla ve druhé harmonické je polovina, že jádra. Kromě toho bude také gradient druhé poloviny strmější než první. Vzhledem k tomu, intenzivnější tepelný tok prochází vdova minimální vzdálenost, pak bude tlumena harmonické čtyřikrát rychleji než hlavní, jako funkce času. V následujícím postupu bude ještě rychlejší. Matematik za to, že tento způsob umožňuje vypočítat proces počáteční rozdělení teploty v čase.

Call současníci

Fourierova transformace algoritmus se stalo výzvou pro teoretické základy matematiky v té době. Na počátku devatenáctého století, většina prominentních vědců, včetně Lagrange, Laplace, Poisson, Legendrovy a Biot nepřijal jeho tvrzení, že se teplota počáteční rozložení je rozložen do složek ve formě základní vlny a vyšší frekvenci. Nicméně, Akademie věd nemohl ignorovat výsledky získané matematik, a udělil mu cenu za teorii tepelné vodivosti zákonů, jakož i provádění jeho porovnání s fyzikální experimenty. V přístupu Fourierovy hlavní námitka je skutečnost, že nespojité funkce je reprezentována součtem několika sinusových funkcí, které jsou spojité. Koneckonců, popisují prasknutí rovných a zakřivených linií. Současná vědec takové situaci nikdy dochází při nespojité funkce popsané kombinací kontinuální, jako je kvadratická, lineární, sinusové nebo vystavovatele. V případě, že matematik měl pravdu ve svém tvrzení, součet nekonečné řady trigonometrických funkcí by měla být omezena na přesné rychlosti. I když takový požadavek se zdálo absurdní. Nicméně, i přes pochybnosti o některých výzkumníků (např Claude Navier, Sofi Zhermen) rozšířil rozsah výzkumu a vyvedl z analýzy rozložení tepla. Matematiky, mezitím nadále trpět na otázku, zda je suma několika sinusových funkcí je snížena na přesné reprezentace prasknutí.

200-leté historii

Tato teorie se vyvinul v průběhu dvou století, dnes je konečně vytvořena. S pomocí prostorových nebo časové funkce jsou rozděleny do sinusové složky, které mají frekvence, fáze a amplitudy. Tato konverze je dosaženo dvěma různými matematickými metodami. První z nich se používá v případě, že zdrojem je spojitá funkce, a druhý - v případě, že je reprezentován větším počtem diskrétních jednotlivých změn. Pokud je exprese získané z hodnot, které jsou definovány v diskrétních časových intervalech, může být rozdělena do několika diskrétních sinusové frekvencí výrazy - od nejnižší a pak zdvojnásobil, ztrojnásobil, a tak dále nad základní. Tato částka se nazývá Fourier série. Pokud je počáteční výraz nastaví hodnotu každé reálné číslo, může být rozdělena do více sinusových všech možných frekvencí. To se nazývá Fourier integrální a rozhodnutí znamená přeměnu integrální funkce. Bez ohledu na metodu pro získání transformace, pro každou frekvenci by měly uvést dvě čísla: amplitudu a frekvenci. Tyto hodnoty jsou vyjádřeny jako jeden komplexní číslo. Exprese komplexní proměnné teorie spolu s Fourierovou transformací k provádění výpočtů umožnila konstrukci různých elektrických obvodů, analýza mechanických vibrací, studium šíření vln mechanismu a další.

Fourierova transformace dnes

V současné době je studium tohoto procesu v podstatě se scvrkává na hledání účinných metod pro přechod z funkce převést zpět na mysl. Toto řešení se nazývá přímá a inverzní Fourierova transformace. Co to znamená? Za účelem zjištění, integrální a učinit přímá Fourierova transformace, můžete použít matematické metody, ale můžete analytický. Navzdory tomu, že pokud jsou používány v praxi existují určité problémy, většina integrály již byly nalezeny a vstoupila v matematických příručkách. S pomocí numerických metod lze vypočítat výrazů, jehož tvar vychází z experimentálních dat, funkce, jejíž integrály v tabulkách chybí, a je obtížné si představit, v analytické podobě.

Před příchodem počítačové inženýrských výpočtů takové transformace byli velmi únavné, které vyžadují manuální provedení velkého počtu aritmetických operací, které jsou závislé na počtu bodů, které popisují vlnovou funkci. Aby se usnadnilo zúčtování dnes existují speciální programy, nemá zavádění nových analytických metod. Takže v roce 1965, Dzheyms Kuli a Dzhon Tyuki vytvořili software, který se stal známý jako "Fast Fourier Transform". To šetří čas výpočtu snížením počtu násobení v analýze křivky. „Fast Fourier Transform“ Metoda je založena na rozdělení křivky do velkého počtu jednotných vzorkových hodnot. V souladu s tím, je počet násobení se zmenší na polovinu za stejné snížení počtu bodů.

Aplikování Fourierova transformace

Tento postup se používá v různých oblastech: V teorii čísel, fyziky, zpracování signálu, kombinatorika, teorie pravděpodobnosti, kryptografie, statistiky, oceánografie, optika, akustika, a jiné geometrie. Bohaté možnosti jeho použití jsou založeny na množství užitečných funkcí, které se nazývají „vlastnosti Fourierovy transformace.“ Pojďme prozkoumat je.

1. Funkce převodu je lineární operátor a odpovídající normalizace je z jednoho kusu. Tato vlastnost je známá jako Parsevalova věta, nebo v obecném případě, teorém Plansherelja nebo Pontrjagin dualismus.

2. Převod je reverzibilní. Kromě toho, opačný výsledek je v podstatě podobný tvar jako v přímé adresování.

3. sinusové Základní výrazy jsou jejich vlastní diferencované funkce. To znamená, že takové zastoupení se mění lineární rovnice s konstantními koeficienty v konvenčním algebraické.

4. Podle „konvoluce“ teorému, proces je komplexní operace v základní násobení.

5. diskrétní Fourierova transformace může být rychle navržen na počítači pomocí „rychlé“ metody.

Variace Fourierova transformace

1. Nejčastěji termín je používán pro označení kontinuální přeměny, které poskytují žádný kvadraticky integrovatelnou výraz jako součet komplexní exponenciální exprese se specifickými úhlové frekvence a amplitudy. Tento druh má několik různých forem, které mohou být různé konstantními koeficienty. Kontinuální způsob zahrnuje konverzní tabulku, které lze nalézt v matematických příručkách. Zobecněný případ je frakční konverze, čímž může být tento proces zvýšena na požadovanou výkonem.

2. Kontinuální způsob je zobecněním dřívější techniky Fourierova řada definován pro nějaké periodických funkcí nebo výrazů, které existují v omezené oblasti a zastupují jako série sinusoid.

3. Diskrétní Fourierova transformace. Tato metoda se používá při výpočtu pro vědecké výpočty a zpracování digitálního signálu. K provedení tohoto typu výpočtu je zapotřebí mít funkci určení na diskrétní soubor jednotlivých bodů, periodická nebo omezená oblast místo kontinuální Fourierových integrálů. Převod signálu je v tomto případě znázorněn jako součet sinusoid. Použití „rychlé“ metody umožňuje používání digitálních řešení pro všechny praktické účely.

4. Okno Fourierova transformace je zobecněný pohled na klasickou metodou. Na rozdíl od standardních řešení, pokud je použita spektra signálu, která je přijata v plném rozsahu existenci této proměnné je zvláštním zájmem je zde pouze lokální distribuční frekvence při zachování původní proměnné (čas).

5. dvourozměrná Fourierova transformace. Tato metoda se používá pro práci s dvourozměrné pole dat. V takovém případě se konverze provádí v jednom směru, a poté - v druhé.

závěr

Dnes, Fourierova metoda je pevně zakořeněné v různých oblastech vědy. Například, v roce 1962, že otevřený tvar dvoušroubovice DNA za použití Fourierova analýza ve spojení s rentgenovou difrakcí. Nedávné krystaly se zaměřil na vláknech DNA, což vede k obrazu, který se získá pomocí difrakce, zaznamenané na filmu. Tento obrázek se získá informace o hodnotě amplitudy pomocí Fourierovy transformace tohoto krystalové struktury. Fázové data získaná na základě porovnání DNA difrakční karty s kartami, které jsou získány v analýze podobných chemických struktur. V důsledku toho, biologové obnovena krystalovou strukturu - původní funkci.

Fourierova transformace hrají obrovskou roli při studiu kosmického prostoru, fyziku polovodičových materiálů a plazmy, mikrovlnné akustiku, oceánografii, radar, seismologie a lékařské prohlídky.